Задание №8. Короткий конспект
Подсчёт по позициям, номер и слово по номеру, ограничения на цифры, повторения и соседство.
Сначала различаются количество подходящих последовательностей и номер в исходном списке. Для записи числа начальный ноль запрещён; для слова или кода такого запрета по умолчанию нет.
Подсчёт
q — число символов алфавита, n — длина. Формулы ниже применяются без дополнительных ограничений на позиции и соседство.
| Условие | Количество |
|---|---|
| Повторения разрешены | q^n |
| Все символы различны, n\leq q | q(q-1)\cdots(q-n+1) |
| Одна конкретная буква встречается ровно один раз | n(q-1)^{n-1} |
| Та же буква встречается ровно r раз | \binom nr(q-1)^{n-r}; сочетание выбирает набор мест |
Варианты последовательных шагов перемножаются. Непересекающиеся случаи складываются. «Не более» включает ноль вхождений; «не менее» включает равенство.
Номер в полном списке
- Фиксируется порядок алфавита по условию и началу списка.
- Буквы заменяются цифрами 0,1,\ldots,q-1.
- Значение записи в основании q равно числу слов перед данным. При нумерации с 1 номер на единицу больше.
- Для слова по номеру: вычитание 1 → перевод в основание q → начальные нули до длины n → буквы.
При чётном основании чётность номера противоположна чётности последней цифры. При нечётном основании учитывается сумма всех цифр и прибавление единицы.
Перебор и ограничения
product(alphabet, repeat=n)допускает повторения;permutations(alphabet, n)выбирает различные элементы, если алфавит сам не содержит повторов.enumerate(..., start=1)нумерует все слова до отбора. Первый подходящий номер допускает остановку; последний требует полного прохода; количество требует отдельного счётчика.- Для числа проверяется первая цифра. Для соседства проверяются все пары и оба направления. Ноль — чётная цифра.
Возможные ловушки
- Нумерация после фильтрации сдвигает номера и меняет их чётность.
- Особая буква на остальных местах нарушает требование «ровно»; полный запрет повторов может исключить разрешённые слова.
- Запрет нуля во всём числе сильнее запрета в начале. Проверка только правого соседа пропускает запрещённую пару слева.
- Контроль результата: подходящих слов не больше полного набора, номер лежит от 1 до q^n; обратное преобразование номера возвращает то же слово.