Позиционные системы счисления
Почему разряды имеют веса, остатки дают цифры, а перенос и заём работают в любом целочисленном основании.
Одно и то же целое число можно записать в разных системах счисления. Меняется запись, но не количество, которое она обозначает. Позиционная система связывает значение цифры с её местом: одинаковый символ в соседних разрядах вносит разный вклад в число. Это правило объясняет перевод, арифметику разрядов и способы исследования больших чисел.
Основание, цифра и разряд
Основание обозначается b. Разряд с номером 0 находится справа и имеет вес 1. Следующие веса равны b,b^2,b^3 и так далее.
Пусть запись положительного числа содержит k+1 цифр. Значение цифры разряда i обозначим a_i. Тогда:
n=a_kb^k+a_{k-1}b^{k-1}+\cdots+a_1b+a_0,\qquad 0\le a_i<b,\quad a_k\ne0.
Последнее условие исключает ведущие нули. Например, 234_5=2\cdot25+3\cdot5+4=69. Добавление нуля слева не изменяет число, но такая избыточная запись не используется при подсчёте цифр. Нули справа существенны: 2340_5=69\cdot5=345.
При основании больше десяти значений цифр больше, чем привычных десяти символов. Обычно вводят буквы или другие знаки. Это соглашение об обозначениях: значение 12 всё равно относится к одному разряду. Проверка чётности или сравнение с девятью выполняется для числового значения цифры, независимо от её символа.
Почему деление извлекает цифры
Все слагаемые позиционной записи, кроме последнего, делятся на b. Их можно вынести в целое число q:
n=bq+a_0,\qquad 0\le a_0<b.
Это деление с остатком. Частное q и остаток a_0 определены однозначно. Поэтому остаток является младшей цифрой, а частное содержит остальные цифры в прежнем порядке.
| Деление для числа 69 | Полученная цифра |
|---|---|
| 69=5\cdot13+4 | 4 |
| 13=5\cdot2+3 | 3 |
| 2=5\cdot0+2 | 2 |
Остатки получены справа налево: после обращения порядка получается 234_5. Частное уменьшается, пока не станет нулём. Однозначность каждого остатка объясняет и единственность всей записи без ведущих нулей. У числа 0 отдельная запись из одной нулевой цифры; отсутствие шагов деления не означает отсутствие цифр.
Перенос и заём сохраняют значение
Если коэффициент некоторого разряда достигает основания, он уже не может быть цифрой. Например, в пятеричной системе сумма значений 3+4=7 представляется как 7=1\cdot5+2. В текущем разряде остаётся 2, а единица переносится в следующий. Равенство b\cdot b^i=b^{i+1} гарантирует, что число не изменилось.
Заём использует то же равенство в обратном направлении. При вычитании единицы из b^m единица старшего разряда последовательно передаётся младшим. В каждом из m разрядов остаётся b-1:
b^m-1=(b-1)b^{m-1}+\cdots+(b-1)b+(b-1).
Например, 5^4-1=4444_5. Если вычитается не единица, а b^r, где 0\le r<m, можно сначала вынести эту степень:
b^m-b^r=b^r(b^{m-r}-1).
Внутри скобок находятся m-r цифр со значением b-1. Умножение на b^r приписывает справа r нулей. Поэтому 5^4-5^2=4400_5. Правило применяется к разности степеней; произвольные дополнительные слагаемые могут вызвать новые переносы и требуют отдельного учёта.
Связь оснований через степени
Если основание одного выражения является степенью другого, степени удобно приводить к общей базе: 25^6=(5^2)^6=5^{12}. При этом показатели перемножаются. Такое преобразование показывает, какие слагаемые попадают в один разряд и где возможны переносы.
Если c=b^r, где r — положительное целое число, одна цифра в основании c соответствует группе из r цифр основания b. Например, 8=2^3, поэтому восьмеричная цифра соответствует трём двоичным разрядам. Внутри группы ведущие нули сохраняют её ширину; только в самой левой группе нули можно убрать. Смешение этих двух видов нулей меняет запись числа.
Запись с неизвестной цифрой
В записи \overline{2x3}_b при b\ge4 черта показывает, что символы образуют одно число. Его значение равно 2b^2+xb+3. Неизвестная цифра удовлетворяет 0\le x<b; если она стоит первой, дополнительно исключается нуль. Одинаковая буква в нескольких местах обозначает одинаковое значение.
Иная ситуация — выражение b^m-x. Здесь x является целым вычитаемым, и ограничение на него берётся из условия. Оно может многократно превышать основание. Различие определяется ролью символа в записи, а не самой буквой.
Для вычисления числа по цифрам подходит последовательное присоединение. Если уже прочитанная часть равна v, следующая цифра d даёт новое значение bv+d. Умножение сдвигает прежние разряды, сложение заполняет освободившийся младший. Этот способ не зависит от того, каким символом обозначено значение цифры.
Цифры и остатки от деления
Если основание даёт остаток один при делении на число m, то и все его степени дают остаток один. Поэтому число и сумма значений его цифр имеют одинаковый остаток при делении на m. В частности, это работает для m=b-1. Правило проверяет делимость, но не утверждает равенства самого числа сумме цифр.
Почему вычитание небольшой степени создаёт длинную последовательность одинаковых цифр? Как условие делимости помогает найти неизвестную цифру, после чего вычислить нужное частное? Эти приёмы применены к конкретным условиям в статье «Задание №14. Цифры числа и неизвестные значения».